表格式累积和（CUSUM）图

十九世纪二十年代，在西部电子公司供职的沃特•休哈特博士创建了第一张控制图。距今，控制图已经使用将近 100 年。1931年，休哈特博士出版了具有里程碑意义的《产品制造质量的经济控制》一书，奠定了现代统计质量控制方法的基础。

今天，很多质量控制方法都是对休哈特的技术的改进。所有这些改进都是为了更好地支持现代生产方法和挑战。其中一种图是表格式累积和图，或简称为累积和（CUSUM）图。

什么是累积和图？

和控制图一样，累积和图以时间为顺序记录数据的。图表在过程发生显著变化时警示用户。累积和图不使用原始数据、均值、极差或标准差记录数据，取而代之的是有代表性的近似数据，子组和子组与指定目标或产品均值的偏差的累积和的数据。表格式累积和图的主要优势是更加灵敏地侦测均值的微小偏移，相比单值移动极差图，这一点尤其明显。

为什么使用累积和图？

基本上，使用积累和图的原因可以归结为敏感性。通常认为均值极差图和均值标准差图是过程控制的有力工具。这种效力基于：随着子组样本数 n 的增加，均值的分布趋近于正态分布。子组样本数越大，均值图对均值显著偏移越敏感。提高控制图敏感性和提高子组样本数一样简单。但是，不是所有人都可以使用提高子组样本量这样的奢侈方式。比如，生产车间生产的产品是短制程生产，或者产品的质量检测是破坏性的实验。在这种情况下，可以获得的数据很少，或者出于成本的考虑，数据难以采集，因此无法提高样本容量。

如果子组大小不能提高，那么单值、移动极差(IX-MR)图就会是比较好替代均值极差图的选择。然而，因为在单值图上，描点为单值（不是平均值），单值图对于总体均值的微小偏移敏感性很差，特别是与均值图相比较。

累积和图普遍使用的另一个原因是可以减低风险。比如，有的公司生产的产品如果偏离目标值太远，将导致灾难性的后果。这些组织将不能等到数据超出+/-3σ控制限才生成警报。因此，他们需要对微小的过程变化更加敏感。

上面的理由表明累积和图的有效性。在均值发生很小(1 - 1.5σ)的变化时，必须识别出来。在控制过程的数据很少时，累积和图是出色的解决方案。目前，累积和图已被广泛应用于航空、冶金、化工和连续流程性行业。

如何生成累积和图?

和传统的控制图比，表格式累积和图是独特的，在生成累积和图的过程中，必须使用特定的参数和统计信息。

参数	描述
	数据点是用来排除在表格累积和图上超过上限的数据点。上限用来识别超过过程目标值的变化。
	数据点是用来排除在表格累积和图上超过上限的数据点。上限用来识别超过过程目标值的变化。
	过程均值或目标值。
	样本标准差，或长期（LT）标准差。
	在累积和图中检测到过程均值的向上偏移，以标准差为单位，通常在 0.5σ 到 1.5σ之间。
	在累积和图中检测到过程均值的向下偏移，以标准差为单位，通常在 0.5σ 到 1.5σ之间。
	“上参考”值是累积和图上限。累积和图上限值是仅当偏差超过目标值指定的K值的累积值。 K 值为检测到的偏移值的一半。
	“下参考”值是累积和图下限。累积和图下限值是仅当偏差超过目标值指定的K值的累积值。 K 值为检测到的偏移值的一半。
	决策参数。决定决策区间的因子， H 。尽管有时用的是 4，但通常定义为 5。
	“决策区间”，作用与控制限一样。
	可选项，快速初始响应（FIR）或“抢先”，通常是H的一半，在没有数据时，常作为初始CUSUM值。
表1在表格式累积和图中必须用到的参数和统计信息

表格式累积和图范例

钢铁公司为建筑行业生产大量的工字钢。工字钢形状巨大，生产成本高昂，而且不是经常生产。作为关键质量特性，“A-尺寸”难于测量，但又必须严格控制。

如果A-尺寸平均值有超过目标值向上偏移为 1σ，产品的强度会损坏，且产品只能报废。如此一来将造成巨大的经济损失。为了防止出现这种情况，公司要求在A-尺寸平均值偏离目标值至少一个σ时提示操作员。

在历史上，A-尺寸的平均值接近50.00，历史标准偏差为约为 0.70。下面是最近采集的 28 个A-尺寸的值，见下表。在21-28子组中带有星号，表示均值从 50.00 变到50.75 ，大约增加了一个σ。

子组编号	A-尺寸	子组编号	A-尺寸
1	50.453	15	49.895
2	50.682	16	50.014
3	49.686	17	49.373
4	49.572	18	50.523
5	51.333	19	51.111
6	50.280	20	50.044
7	49.240	21*	51.601
8	50.478	22*	50.479
9	49.263	23*	49.089
10	50.046	24*	50.632
11	49.540	25*	50.373
12	49.270	26*	51.682
13	50.316	27*	50.521
14	49.512	28*	51.639
	表2在表格中，最后八个子组中超过一个σ

在图3中看到A-尺寸数据的传统的 IX-MR 控制图。蓝色的垂直标记表示A-尺寸均值开始了持续的 1σ的增长。

图3 A-尺寸数据的IX-MR 控制图

尽管在单值移动极差控制图上，最后八个A-尺寸的尺寸值确实有1σ的增长，但没有数据落在控制限之外。这种偏差在单值图上是很难察觉的，因为当子组样本量很小的时候，单值图在感知均值的微小改变上存在天生的缺陷。

为了验证表格式累积和图的优越性，使用表格2中同样的数据，完成下面的例子。

创建表格式累积和图

创建累积和图需要下面几个步骤：

1、表2的数据，必须转换，然后将点描为两种不同的累积和数据点：
- a、值表示在目标值以下的值的累积和
- b、值表示在目标值以上的值的累积和。
2、目标值的识别,
3、选择检测到均值以上的偏差，
4、选择检测到均值以上的偏差，
5、决策参数的选择，H

第一，根据范例工字钢的描点值计算的累积和图上的描点值，显示如表4。


子组编号	A-尺寸	CUSUM上点	CUSUM下点
1	50.453	0.065	0.000
2	50.682	0.359	0.000
3	49.686	0.000	-0.022
4	49.572	0.000	-0.158
5	51.333	0.946	0.000
6	50.280	0.838	0.000
7	49.240	0.000	-0.468
8	50.478	0.091	0.000
9	49.263	0.000	-0.445
10	50.046	0.000	-0.107
11	49.540	0.000	-0.275
12	49.270	0.000	-0.714
13	50.316	0.000	-0.106
14	49.512	0.000	-0.301
15	49.895	0.000	-0.114
16	50.014	0.000	0.000
17	49.373	0.000	-0.335
18	50.523	0.135	0.000
19	51.111	0.858	0.000
20	50.044	0.515	0.000
21*	51.601	1.728	0.000
22*	50.479	1.819	0.000
23*	49.089	0.520	-0.619
24*	50.632	0.764	0.000
25*	50.373	0.749	0.000
26*	51.682	2.044	0.000
27*	50.521	2.177	0.000
28*	51.639	3.428	0.000
表4计算出来的累积和图点，用于绘制累积和图上下线

绘图点

下面是完成工字钢例子的累积和图所必须的假设和计算：

1、 = 目标值 = 实际过程均值 = 50.048
2、 = 估计标准偏差 = 0.6796
3、 = 检测到的正偏差 (z) = 1.0σ
4、 = 检测到的负偏差 (z) = 1.0σ
5、 = 上参考值 = = = 0.3398
6、 = 上参考值 = = = 0.3398
7、h = 决策参数 = 5
8、H = 决策区间 = h = 5 × = 5 × 0.6796 = 3.398

使用下面的公式计算上下绘图点作为开始：

每个绘图点取下面结果中较大的值：

1、零或
2、从当前子组值中减去和 K 的和，xi,然后加上以前绘图点（表示为：）。

上累积和图计算：	下累积和图计算：



表5在累积和图上计算前三个子组的绘图点。

上下累积和图值计算后，将它们绘制在同一图表上（见图6）。

表6在表格式累积和图上的工字钢A-尺寸数据

理解表格式累积和图

在上面的图中，需要注意到那与众不同的双线条，这个累积和图看起来和休哈特的控制图非常相似。这也是该图吸引人的地方。两个不同的绘图点让钢铁制造商可以同时看到累积和上、下偏离目标的情况。而这样的绘图点仅仅在上面的图中计算，累积和图的计算对下面的移动极差没有影响。如果在均值上没有明显的偏移，累积和图点将围绕中心线 0 波动。在前 20 个绘图点的情况就是这样。

回顾前面的数据，前二十个子组的数据均值为 50.048，估计标准差

为 0.6796。从21个到28 个子组，均值变为 50.75。A-尺寸均值增长了 1σ多一点。

钢铁公司特别关心均值相对于目标值的增长。不像图3的单值移动极差图那样，累积和图触发警报，表示均值上升大于1σ。总体上，和前面的数据相比，第20个子组后的数据落点远远高于中心线。这也进一步证明均值出现了连续的上升。

此外，最后4个绘图点稳定地上升，直到最后一个绘图点超过上控制限(H 值 = 5

= 5(.6796) = 3.398)。不像在单值移动极差控制图上的独立点，每个累积和图值受到前面的数值的影响。单值移动极差不是这样的。这样可以使表格式累积和图对均值微小的变化更加敏感。